Question

如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点.

(1)求证:EF⊥面BCD;

(2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明:如图,取BC中点G,连结FG、AG.

∵AE⊥面ABC,BD∥AE,

∴BD⊥面ABC.

又AG面ABC,

∴BD⊥AG.又AC=AB,G是BC中点,

∴AG⊥BC.∴AG⊥平面BCD.

∵F是CD的中点且BD=2,

∴FG∥BD且FG=BD=1.

∴FG∥AE.

又AE=1,∴AE=FG,故四边形AEFG是平行四边形.从而EF∥AG,∴EF⊥面BCD.

(2)解:取AB的中点H,则H为C在面ABDE上的射影.

过C作CK⊥DE于K,连结KH,由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE,

∴∠HKC为二面角C-DE-B的平面角.

易知EC=,DE=,CD=,EF=.

由S_△DCE=,

可得CK=,Rt△CHK中,sin∠HKC=,故cos∠HKC=.

∴面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为.