Question

6．已知动点M（x，y）和顶点N（0，1），MN的中点为P，若直线MN，OP的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，动点M的轨迹为C₁
（1）求曲线C₁的方程；
（2）若Q（s，t）（t≠0）为曲线C₁与抛物线C₂：x²=2py的公共点，记在点Q处的切线分别为l₁，l₂，证明：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析 （1）由题意可得P点坐标，求得MN、OP的斜率，再由直线MN，OP的斜率之积为-$\frac{1}{2}$列式整理求得曲线C₁的方程；
（2）设l₁：y-t=k₁（x-s），把l₁的方程代入C₁并整理得关于x的一元二次方程，由判别式=0求得k₁，再由C₂过点Q得到C₂的方程，进一步求得l₂的斜率，由斜率之积等于-1求得l₁⊥l₂．

解答 （1）解：由题意可得：P（$\frac{x}{2}，\frac{y+1}{2}$），
∴${k}_{MN}=\frac{y-1}{x}，{k}_{OP}=\frac{\frac{y+1}{2}}{\frac{x}{2}}=\frac{y+1}{x}$，
则$\frac{（y-1）（y+1）}{{x}^{2}}=-\frac{1}{2}（x≠0）$，化简并整理得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$；
（2）证明：由题意得：x≠0，又t≠0，
∴l₁，l₂的斜率存在且不为0，
l₁：y-t=k₁（x-s），即y=k₁x+（t-k₁s），
把l₁的方程代入C₁并整理得：$（1+2{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}+4{k}_{1}（t-{k}_{1}s）x+2（t-{k}_{1}s）^{2}-2=0$．
△=$16{k}^{2}（t-{k}_{1}s）^{2}-4（1+2{{k}_{1}}^{2}）[2（t-{k}_{1}s）^{2}-2]$=0．
化简整理得：$（t-{k}_{1}s）^{2}=1+2{{k}_{1}}^{2}$．
即$（{s}^{2}-2）{{k}_{1}}^{2}-2st{k}_{1}+{t}^{2}-1=0$有且仅有一解．
∴${k}_{1}=\frac{st}{{s}^{2}-2}$．
由s²+2t²=2，得${k}_{1}=-\frac{s}{2t}$，
∵C₂过点Q，∴s²=2pt，即$2p=\frac{{s}^{2}}{t}$，
∴C₂的方程为$y=\frac{t}{{s}^{2}}{x}^{2}$．
即l₂的斜率为${k}_{2}=\frac{2t}{s}$，
∴k₁•k₂=-1．
∴l₁⊥l₂．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．