题目内容
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+
(a≥
)，
(1)当曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间。
(a≥)，(1)当曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间。
解：
，
(1)由题意可得
，解得a=3，
因为f(1)=ln2-4，此时在点(1，f(1))处的切线方程为y-(ln2-4)=-2(x-1)，即y=-2x+ln2-2，
与直线l:y=-2x+1平行，故所求a的值为3．
(2)令f′(x)=0，得到
，
由
可知
，即x1≤0，
①当
时，
，
所以，
，
故f(x)的单调递减区间为(-1，+∞)．
②当
时，
，即-1＜x1＜0=x2，
所以，在区间
和(0，+∞)上，f′(x)＜0；
在区间
上，f′(x)＞0，
故f(x)的单调递减区间是
和(0，+∞)，单调递增区间是
；
③当a≥1时，
，
所以，在区间(-1，0)上，f′(x)＞0；在区间(0，+∞)上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)；
综上讨论可得：当
时，函数f(x)的单调递减区间是(-1，+∞)；
当
时，函数f(x)的单调递减区间是
和(0，+∞)，单调递增区间是
；
当a≥1时，函数f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)．
，(1)由题意可得
，解得a=3，因为f(1)=ln2-4，此时在点(1，f(1))处的切线方程为y-(ln2-4)=-2(x-1)，即y=-2x+ln2-2，
与直线l:y=-2x+1平行，故所求a的值为3．
(2)令f′(x)=0，得到
，由
可知，即x1≤0，①当
时，，所以，
，故f(x)的单调递减区间为(-1，+∞)．
②当
时，，即-1＜x1＜0=x2，所以，在区间
和(0，+∞)上，f′(x)＜0；在区间
上，f′(x)＞0，故f(x)的单调递减区间是
和(0，+∞)，单调递增区间是；③当a≥1时，
，所以，在区间(-1，0)上，f′(x)＞0；在区间(0，+∞)上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)；
综上讨论可得：当
时，函数f(x)的单调递减区间是(-1，+∞)；当
时，函数f(x)的单调递减区间是和(0，+∞)，单调递增区间是；当a≥1时，函数f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)．
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