题目内容

设函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0， $数学公式$ ]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），已知f（1）=2，求f（ $数学公式$ ），f（ $数学公式$ ）．

解：由f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），x₁，x₂∈[0， $\text{[math]}$ ]
∴f（x）=f（ $\text{[math]}$ ）•f（ $\text{[math]}$ ）≥0，x∈[0，1]
∴f（1）=f（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）•f（ $\text{[math]}$ ）=f²（ $\text{[math]}$ ）=2，
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
同理可得f（ $\text{[math]}$ ）=f²（ $\text{[math]}$ ）．
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
分析：由已知中函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0， $\text{[math]}$ ]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），f（1）=2，易判断出f（x）≥0，x∈[0，1]，令x= $\text{[math]}$ ，可得f（ $\text{[math]}$ ），令x= $\text{[math]}$ ，可得f（ $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查的知识点是函数的值，抽象函数的应用，其中根据已知中f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），结合抽象函数求值的方法，利用“凑”的思想，建立已知与未知的联系，是解答本题的关键．本题易忽略对函数值符号的判断，而错解为f（ $\text{[math]}$ ）=± $\text{[math]}$ ，f（ $\text{[math]}$ ）=± $\text{[math]}$ ．