Question

设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）证明f（x）为奇函数．
（2）证明f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在所给的等式中，令x=y=0，可得f（0）=0．再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则△=x₂-x₁＞0，根据f（ x₂-x₁ ）=-f（x₁）+f（x₂）；以及当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x₂-x₁ ）＜0，即-f（x₂）-f（x₁）
＜0，即f（x₁）＞f（x₂），可得f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（11-5x）＞4，即f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，由此解得x的范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0．
再令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），即 0=f（x）+f（-x），化简可得f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则△=x₂-x₁＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x₂-x₁ ）=f（x₂）-f（x₁）．
再由当x＞0时，f（x）＜0，可得  f（ x₂-x₁ ）＜0，即-f（x₁）+f（x₂）＜0，故有f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（2x+5+6-7x）=f（11-5x）＞4．
再由f（1）=-2，可得f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，解得x＞

13

5

，
故x的范围为 （

13

5

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．