Question

（2010•台州二模）已知向量

a

=(m，n)，

b

=(1，-1)，其中m，n∈{1，2，3，4，5}，则

a

与

b

的夹角能成为直角三角形内角的概率是

3

5

．

Answer 1

分析：由已知m，n∈{1，2，3，4，5}，可以列举出（m，n）的所有情况，并列举出

a

，

b

的夹角能成为直角三角形的内角的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案

解答：解：由m，n∈{1，2，3，4，5}，可得

a

的所有可能情况：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共25个
∵m＞0，n＞0
∴

a

=（m，n）与

b

=（1，-1）不可能同向．
∴夹角θ≠0．
∵θ∈（0，

π

2

]
∴

a

•

b

≥0，
∴m-n≥0，
即m≥n．
共有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5），共15个
故

a

，

b

的夹角能成为直角三角形的内角的概率P=

15

25

=

3

5

故答案为：

3

5

．

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，等可能事件的概率，在解答时要注意

a

，

b

的夹角能成为直角三角形的内角，是指

a

，

b

的夹角不大于90°，本题易将此点理解为

a

，

b

的夹角为直角