Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，对任意n∈N*，点（n，S_n）都在函数f（x）=2x²-x的图象上．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设bn=

Sn

n+p

，且数列b_n是等差数列，求非零常数p的值；
（3）设cn=

2

anan+1

，T_n是数列c_n的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）对所有n∈N*，S_n=2n²-n，所以a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=

2n2-n

n+p

，由{b_n}是等差数列，设b_n=an+b，所以

2n2-n

n+p

=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，由此能求出非零常数p的值．
（3）c_n=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

2

(1-

1

4n+1

)，由T_n＜

m

20

，得m＞(1-

1

4n+1

)，由此能求出最小正整数m的值．

解答：解：（1）由已知，对所有n∈N*，S_n=2n²-n，（1分）
所以当n=1时，a₁=S₁=1，（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，（3分）
因为a₁也满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为
a_n=4n-3（n∈N^*）．（4分）
（2）由已知b_n=

2n2-n

n+p

，（5分）
因为{b_n}是等差数列，可设b_n=an+b（a、b为常数），（6分）
所以

2n2-n

n+p

=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，
所以

a=2 ap+b=-1 bp=0

，（8分）
因为P≠0，所以b=0，p=

1

2

．（10分）
（注：用b_n+1-b_n为定值也可解，或用其它方法解，可按学生解答步骤适当给分）
（3）c_n=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，（12分）
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

2

(1-

1

4n+1

)
（14分）
由T_n＜

m

20

，得m＞(1-

1

4n+1

)，
因为1-

1

4n+1

＜1，所以m≥10．
所以，所求的最小正整数m的值为10．（16分）

点评：本题材考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式性质的合理运用．