题目内容
已知数列an的前n项和Sn=3 | 2 |
(1)求an的通项公式;
(2)设n∈N+,集合An={y|y=ai,i≤n,i∈N+},B={y|y=4m+1,m∈N+}.现在集合An中随机取一个元素y,记y∈B的概率为p(n),求p(n)的表达式.
分析:(1)直接根据an和Sn的关系:an=Sn-Sn-1 (n≥2)求解数列的通项公式(注意检验n=1是否成立)
(2)对i取奇数和偶数两种情况分别讨论求出对应的集合An,再求出对应的p(n)的表达式即可.
(2)对i取奇数和偶数两种情况分别讨论求出对应的集合An,再求出对应的p(n)的表达式即可.
解答:解:(1)因为Sn=
(an-1),n∈N+,所以Sn+1=
(an+1-1).
两式相减,得Sn+1-Sn=
(an+1-an),即an+1=
(an+1-an),
∴an+1=3an,n∈N+.(3分)
又S1=
(a1-1),即a1=
(a1-1),所以a1=3.
∴an是首项为3,公比为3的等比数列.
从而an的通项公式是an=3n,n∈N+.(6分)
(2)设y=ai=3i∈An,i≤n,n∈N+.
当i=2k,k∈N+时,
∵y=32k=9k=(8+1)k=Ck08k+Ck18k-1++Ckk-18+Ckk=4×2(Ck08k-1+Ck18k-2++Ckk-1)+1,∴y∈B.(9分)
当i=2k-1,k∈N+时,
∵y=32k-1=3×(8+1)k-1=3×(Ck-108k-1+Ck-118k-2++Ck-1k-28+Ck-1k-1)
=4×6(Ck-108k-2+Ck-118k-3++Ck-1k-2)+3,∴y∉B.(12分)
又∵集合An含n个元素,
∴在集合An中随机取一个元素y,有y∈B的概率p(n)=
.(14分)
3 |
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两式相减,得Sn+1-Sn=
3 |
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3 |
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∴an+1=3an,n∈N+.(3分)
又S1=
3 |
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3 |
2 |
∴an是首项为3,公比为3的等比数列.
从而an的通项公式是an=3n,n∈N+.(6分)
(2)设y=ai=3i∈An,i≤n,n∈N+.
当i=2k,k∈N+时,
∵y=32k=9k=(8+1)k=Ck08k+Ck18k-1++Ckk-18+Ckk=4×2(Ck08k-1+Ck18k-2++Ckk-1)+1,∴y∈B.(9分)
当i=2k-1,k∈N+时,
∵y=32k-1=3×(8+1)k-1=3×(Ck-108k-1+Ck-118k-2++Ck-1k-28+Ck-1k-1)
=4×6(Ck-108k-2+Ck-118k-3++Ck-1k-2)+3,∴y∉B.(12分)
又∵集合An含n个元素,
∴在集合An中随机取一个元素y,有y∈B的概率p(n)=
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点评:本题考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式,根据an和Sn的关系:an=Sn-Sn-1 (n≥2)求解数列的通项公式.另外,须注意公式成立的前提是n≥2,所以要验证n=1时通项是否成立,若成立则:an=Sn-Sn-1 (n≥1);若不成立,则通项公式为分段函数.

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