Question

6．如果函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在区间[-1，1]上的最大值是14，则实数a的值为3或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令t=a^x，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：设t=a^x，则函数等价为y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，
对称轴为t=-1，
若a＞1，则0＜$\frac{1}{a}$≤t≤a，
此时函数的最大值为f（a）=（a+1）²-2=14，即（a+1）²=16，
即a+1=4或a+1=-4，
即a=3或a=-5（舍），
若0＜a＜1，则0＜a≤t≤$\frac{1}{a}$，
此时函数的最大值为f（$\frac{1}{a}$）=（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14，即（$\frac{1}{a}$+1）²=16，
即$\frac{1}{a}$+1=4或$\frac{1}{a}$+1=-4，
即$\frac{1}{a}$=3或$\frac{1}{a}$=-5（舍），
解得a=$\frac{1}{3}$，
综上3或$\frac{1}{3}$；
故答案为：3或$\frac{1}{3}$；

点评 本题主要考查指数函数的性质和应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．