Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R，
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）求函数在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简函数，即可求出函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）根据x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得（2x-

π

6

）∈[-

2π

3

，

π

3

]，从而可求sin（2x-

π

6

）∈[-1，

3

2

]，进而可求函数在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1
∴函数f（x）的最小值是-2和最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴（2x-

π

6

）∈[-

2π

3

，

π

3

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

3

2

]
∴函数在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

3

2

- 1和最小值为-2．

点评：本题考查三角恒等变换，考查函数的性质，考查整体思维的思想，属于中档题．