Question

已知函数f（x）=ax+lnx
（1）试讨论f（x）的极值
（2）设g（x）=x²-2x+2，若对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．
（2）将f（x₁）＜g（x₂）问题转化为求函数的最值问题．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

．
当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．
当a＜0时，由f'（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＞-

1

a

此时函数递减．此时函数在x=-

1

a

处取得极小值．无极大值．
综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．
当a＜0时，函数在x=-

1

a

处取得极小值．无极大值．
（2）对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），恒成立
由（1）知当a≥0时，f（x₁）在（0，+∞）上为增函数，f（x₁）无最大值；
当a＜0时，f(x1)max?=f(-

1

a

)=-1+ln?(-

1

a

)=-1-ln?(-a)
又g（x₂）=x₂²-2x₂+2在x₂∈[0，1]上单调递减，所以g（x₂）_max?=g（0）=2．
所以

a＜0 -1-ln(-a)＜2

，解得a＜-e^-3．
所以，实数a的取值范围是（-∞，-e^-3）．

点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值．