题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差数列，n∈N^*，a₁=1．函数f（x）=log₃^x．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足b_n= $数学公式$ ，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与 $数学公式$ - $数学公式$ 的大小．

解：（I）∵-1，S_n，a_n+1成等差数列，
∴2S_n=a_n+1-1①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴ $\text{[math]}$ =3．
当n=1时，由①得2S₁=2a₁=a₂-1，又a₁=1，
∴a₂=3，故 $\text{[math]}$ =3．
∴{a_n}是以1为首项3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1…（7分）
（II）∵f（x）=log₃^x，
∴f（a_n）=log₃a_n= $\text{[math]}$ =n-1，
b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴T_n= $\text{[math]}$ [（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ …（9分）
比较T_n与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）
2（n+2）（n+3）-312=2（n²+5n+6-156）=2（n²+5n+-150）=2（n+15）（n-10），
∵n∈N^*，
∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T_n＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
当n＞10且n∈N^*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T_n＞ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（I）依题意可求得 $\text{[math]}$ =3（ n≥2），再由2S₁=2a₁=a₂-1，a₁=1即可求得{a_n}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）依题意可求得b_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），利用累加法可求得T_n，从而通过分类讨论即可比较T_n与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的大小．
点评：本题考查数列的求和，突出考查裂项法求和，着重考查分类讨论思想与转化思想的综合应用，属于难题．