Question

在等差数列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=2 an-10，证明：数列{b_n}为等比数列；
（3）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}中，由a₁₀=30，a₂₀=50．解得a₁=12，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）由a_n=2n+10，知b_n=2 an-10=2²ⁿ=4ⁿ，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由nb_n=n•4ⁿ，知T_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{nb_n}的前n项和T_n．

解答：（1）解：设数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
依题意知

a1+9d=30 a1+19d=50

，解得a₁=12，d=2，
∴a_n=12+（n-1）×2=2n+10．
（2）证明：∵a_n=2n+10，
∴b_n=2 an-10=2²ⁿ=4ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

4n+1

4n

=4，
∴数列{b_n}是以首项b₁=4，公比为4的等比数列．
（3）解：∵nb_n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，①
4T_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹，②
①-②，得-3T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹=-

4

3

+(

1

3

-n)•4n+1，
∴T_n=

4

9

+(

n

3

-

1

9

)•4n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．