Question

已知函数f(x)=()^x，x∈[-1，1]，函数g(x)=f²(x)-2af(x)+3的最小值为h(a)。
（1）求h(a)；
（2）是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]。若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为x∈[-1，1]，所以，
设，
则g(x)=φ(t)=t²-2at+3=(t-a)²+3-a²，
当a＜时，；
当≤a≤3时，h(a)=φ(a)=3-a²；
当a＞3时，h(a)=φ(3)=12-6a；
所以，。
（2）因为m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)=12-6a，
因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，且h(a)为减函数，
所以，两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n)，
因为m＞n，所以m-n≠0，得m+n=6，
但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在。