题目内容
已知函数
（Ⅰ）若函数
在其定义域上为单调函数,求
的取值范围；
（Ⅱ）若函数的图像在
处的切线的斜率为0，
，已知
求证：
（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较
与
的大小，并说明理由.
【答案】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）略；（Ⅲ）
<
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用导数求解单调性，把恒成立转化为最值；（Ⅱ）可用数学归纳法来证明
；（Ⅲ）通过放缩法来解决与的大小比较问题.
试题解析：(Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b
∴
∴
要使函数
在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内
恒大于等于0或恒小于等于0，
当a=0时，
在（0，+∞）内恒成立；
当a>0时，
恒成立，则
∴
当a<0时，
恒成立
∴a的取值范围是:
5分
(Ⅱ) 
∴a=1 则：
于是
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，
，不等式成立；
假设当n=k时，不等式
成立，即
也成立，
当n=k+1时，
所以当n=k+1时不等式成立，
综上得对所有
时，都有 10分
（Ⅲ）由（2）得
于是
所以
，
累称得：
则
所以
13分
考点：利用导数处理单调性，数列中的数学归纳法、放缩法.
练习册系列答案
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成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
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成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
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