Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，

3

2

)在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，

3

2

)在该椭圆上，知

1

4

+

3 4

b2

=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）由直线l过椭圆

x2

4

+y2=1的右焦点F（

3

，0），设l的方程为：y=k（x-

3

），联立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是直角，利用韦达定理和x₁x₂+y₁y₂=0能求出直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，

3

2

)在该椭圆上，
∴

1

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=1．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）∵直线l过椭圆

x2

4

+y2=1的右焦点F（

3

，0），
∴设l的方程为：y=k（x-

3

），
联立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 3 k2

4k2+1

，x₁x₂=

12k2-4

4k2+1

，
y₁y₂=k（x₁-

3

）•k（x₂-

3

）=k²x₁x₂-

3

k2（x₁+x₂）+3k²，
∵∠AOB是直角，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-

3

k2（x₁+x₂）+3k²
=（k²+1）•

12k2-4

4k2+1

）-

3

k2•

8 3 k2

4k2+1

+3k²
=

11k2-4

4k2+1

=0，
解得k=±

2 11

11

．
∴直线l的方程为y=±

2 11

11

（x-

3

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、椭圆性质、向量等知识点的合理运用．