Question

已知函数f(x)=sin 2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)+2cos2ωx(ω＞0，x∈R)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用二倍角公式可将函数化简为f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再由在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

可解得ω=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由正弦函数的性质，根据图象变换规律得出（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），即可解出其单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+1+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，将x=

π

6

代入可得：ω=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后得出y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

）]+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

，
最大值为1+

3

2

=

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
4kπ+

4

3

π≤x≤4kπ+

10π

3

，
单减区间[4kπ+

4

3

π，4kπ+

10π

3

]，（k∈Z）．

点评：本题考查了利用两角和与差的公式化简解析式，三角函数的性质，图象变换规律．