Question

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=[f（）]²，
（I）求数列{a_n}的通项公式数列a_n；
（II）若数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意有，，故．所以，由此能求出．
（Ⅱ）当k≥2（k=2，3，4，…，n）时，，由此利用裂项求和法能够证明S_n＜2．
解答：（Ⅰ）解：由题意有，
∴，（2分）
∴，
∴．（4分）
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．（5分）
，
即．
所以．（7分）
（Ⅱ）证明：当k≥2（k=2，3，4，…，n）时，
，（10分），（13分）
故 S_n＜2．（14分）
点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．