Question

已知圆 O：x²+y²=2交x轴正半轴于点A，点F满足

OF

=

2

2

OA

，以F为右焦点的椭圆 C的离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）设过圆 0上一点P的切线交直线 x=2于点Q，求证：PF⊥OQ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A（

2

，0），F（1，0）．椭圆c=1，e=

2

2

，由此能求出椭圆D的方程．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），过点P的圆的切线方程为y-y₁=-

x1

y1

（x-x₁），由x₁²+y₁²=2得y=-

x1

y1

x+

2

y1

，
令x=2得y=-

2(x1-1)

y1

，故点Q(2，-

2(x1-1)

y1

)，由此能求出PF⊥OQ．

解答：解：（Ⅰ）A（

2

，0），F（1，0）．
椭圆c=1，e=

2

2

，∴a=

2

，b²=a²-c²=1，
∴椭圆D的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）证明：设点P（x₁，y₁），
过点P的圆的切线方程为y-y₁=-

x1

y1

（x-x₁）
即y=-

x1

y1

（x-x₁）+y₁．
由x₁²+y₁²=2得y=-

x1

y1

x+

2

y1

，
令x=2得y=-

2(x1-1)

y1

，故点Q(2，-

2(x1-1)

y1

)
∴K_OQ=

x1-1

y1

，又K_PF=

y1

x1-1

∴K_PF•K_OQ=-1
∴PF⊥OQ．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．