题目内容
设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.
证明：直线AC经过原点O.
证明:∵抛物线的焦点为F(
,0),
∴经过点F的直线AB的方程可设为
x=my+
.
代入抛物线方程，得
y2－2pmy－p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=－p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x=－
上，
∴点C的坐标为(－
,y2).
∴直线OC的斜率为
k=
,
即k也是直线OA的斜率.
∴直线AC经过原点O.
点评:本题若设直线AB的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k不存在的情况.另外，证明直线AC过原点O,这里是利用了直线OC与直线AC斜率相等,非常简捷，如若写出直线AC的方程，通过(0，0)适合方程来证明，将较复杂.
练习册系列答案
相关题目
设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），y1＞0，y2＜0，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA，MF，MB的斜率分别记为：KMA=a，KMF=b，KMB=c，（如图）