Question

（2012•台州模拟）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证AD⊥BM；
（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E-AM-D大小为

π

3

时，试确定点E的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）作出二面角E-AM-D的平面角，利用二面角E-AM-D大小为

π

3

时，即可确定点E的位置．

解答：（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点
∴AM=BM=

2

∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，

∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM
在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E-AM-D平面角，即∠EHF=

π

3

设FM=x，则DF=1-x，FH=

2

2

x
在直角△FHM中，由∠EFH=

π

2

，∠EHF=

π

3

，可得EF=

3

FH=

6

2

x
∵EF∥MB，MB=

2

，∴

EF

MB

=

DF

DM

，∴

6 2 x

2

=

1-x

1

∴x=4-2

3

∴当E位于线段DB间，且

DE

DB

=2

3

-3时，二面角E-AM-D大小为

π

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确作出面面角是关键．