Question

【题目】单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为，则f(3)=_____; 下面是关于的描述：

③ ④

其中正确结论的序号为__________．（注：请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】 ①③④

【解析】半径为1的圆的内接正n边形的边长为2sin，

边心距为cos，

则正n边形的面积为f（n）=n2sincos=sin，

可得f（3）=sin=；

考虑函数f（x）=sin，x＞2，且x∈N，

可得导数f′（x）=sin﹣cos，

当x=3，4时，f′（x）＞0成立；

当x＞4，且x∈N，0＜＜，

有0＜sin＜1，0＜cos＜1，

且sin＜＜tan，

可得sin＞cos，

可得f′（x）＞0，

则f（x）在x＞2，且x∈N，为增函数，

则f（n）＜f（n+1）；

由于f（n）为增函数，且sin＜，0＜＜，

可得f（n）＜=π，

即f（n）取不到π；

又f（n）﹣f（2n）=sin﹣nsin=nsincos﹣nsin

=nsin（cos﹣1）＜0，即f（n）＜f（2n）；

由f（2n）﹣2f（n）=nsin﹣2sin=nsin（1﹣2cos），

由于n≥3，可得≤cos＜1，

可得f（2n）﹣2f（n）≤0，

即f（2n）≤2f（n）．

综上可得，正确结论序号为①③④．

故填；①③④．