Question

已知函数（且）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ） 记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点，如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．

       试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数的定义域是．                         …………1分

由已知得，．           …………2分

⑴当时, 令,解得; 令,解得．

所以函数在上单调递增,在上单调递减．       …………3分

⑵当时，

①当时，即时, 令,解得或;

令,解得．

所以，函数在和上单调递增,在上单调递减;

…………4分

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； ………5分

③当时，即时, 令,解得或;

令,解得．

所以，函数在和上单调递增,在上单调递减．…………6分

综上所述，⑴当时,函数在上单调递增,在上单调递减；

⑵当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；

⑶当时,函数在上单调递增；

⑷当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．

……………7分 

（Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”．

设,是曲线上的不同两点，且，

则，．

                           …………8分

曲线在点处的切线斜率

，            …………9分

依题意得：．

化简可得： ，

即=．                          …………11分

       设 （），上式化为：,

       即．                                  …………12分

令,．

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立．

所以在内不存在,使得成立．

综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．……………14分