Question

设函数f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为实数）
（1）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数y=g（x）的解析式；
（2）当a＜0时，求关于x的方程f（x）=0在实数集R上的解．

Answer 1

分析：（1）利用函数关于直线对称，通过点的对称关系求y=g（x）的解析式．
（2）由f（x）=0，解指数方程即可．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=2^x-1
设y=g（x）图象上任意一点P（x、y），
则P关于x=1的对称点为P′（2-x，y）…（3分）
由题意P′（2-x，y）在f（x）图象上，
∴y=2^2-x-1，即g（x）=2^2-x-1；…（6分）
（2）f（x）=0，即2x+

a

2x

-1=0，整理，得：（2^x）²-2^x+a=0
∴2x=

1± 1-4a

2

，又a＜0，所以 

1-4a

＞1
∴2x=

1+ 1-4a

2

，…（10分）
从而x=log2

1+ 1-4a

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了与指数函数有关的基本运算，要求熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质．