Question

已知a是函数f（x）=e^x+x-2的零点．
（1）若a∈（n，n+1），n∈N，求n的值；
（2）求证：1＜e^a＜2．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数零点的判定条件，即可得到结论．
（2）根据a是函数f（x）=e^x+x-2的零点，利用f（a）=e^a+a-2=0，即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+x-2为增函数，
∴f（0）=1-2=-1＜0，f（1）=e+1-2=e-1＞0，
则f（x）在（0，1）内存在唯一的一个零点a，
∵a∈（n，n+1），n∈N，
∴n=0．
（2）f（x）在（0，1）内存在唯一的一个零点a，
∴0＜a＜1，则e^a＞e⁰=1，
又f（a）=e^a+a-2=0，
则e^a=2-a＜0，
综上1＜e^a＜2成立．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断以及不等式的证明，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．