Question

【题目】若函数在处的切线与直线平行，则实数____；

当a≤0时，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围为_________.

Answer 1

【答案】 1

【解析】 (1)由f(x)=x3+3ax1,得到f′(x)=3x2+3a，

因为曲线在x=1处的切线与y=6x+6平行，

而y=6x+6的斜率为6，

所以f′(1)=6，即3+3a=6，解得a=1；

(2)令g(x)=x3+3ax16，

g′(x)=3x2+3a=3(x2+a)，

a=0时,g′(x)0,g(x)在R递增，

而x→∞时,g(x)→∞,x→+∞时,g(x)→+∞，

故函数g(x)有且只有一个零点，

即方程f(x)=15有且只有一个实根，

a<0时,令g′(x)>0,解得： 或，

令g′(x)<0,解得： ，

则g(x)在 递增,在递减,在递增，

故g(x)极大值 ，

解得： ，

综上：-4<a0.