Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A（-a，0）的直线l与椭圆相交另一点B，若|AB|=

4 2

5

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（I）由离心率，结合c²=a²-b²，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由e=

3

2

，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由题意可知

1

2

×2a×2b=4，即ab=2．
解得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

．
从而y1=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )2

=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．