Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

4

n•(an+7)

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

2

≤Tn＜1；
（3）是否存在常数c（c≠0），使得数列{

Sn

n+c

}为等差数列？若存在，试求出c；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由等差数列的性质，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，与a₂•a₃=45联立，计算可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据题意，将数列{a_n}的通项公式代入b_n可得b_n的通项公式，进而运算消项求和法，计算T_n，可以得证；
（3）首先计算Sn，代入数列{

Sn

n+c

}，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．

解答：（1）解：∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

?

a2•a3=45 a2+a3=14

?

a2=5 a3=9

?d=4?an=4n-3（4分）
（2）∵cn=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，（6分）
Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n
∴Tn≥T1=

1

2

故

1

2

≤Tn＜1（8分）
（3）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，cn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2c₂=c₁+c₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化简得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令c=-

1

2

，即得c_n=2n，显然数列{c_n}为等差数列，
∴当且仅当c=-

1

2

时，数列{c_n}为等差数列．（12分）

点评：本题考查等差数列的通项公式的运用，注意结合等差数列的性质分析，可以减少运算量，降低难度．