Question

已知函数f（x）=，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得，，根据周期公式可得，根据正弦函数的性质相邻两对称轴间的距离即为，从而有代入可求ω的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，由f（A）=1可得，结合已知可得，由余弦定理知可得b²+c²-bc=3，又b+c=3联立方程可求b，c，代入面积公式可求
也可用配方法求得bc=2，直接代入面积公式可求
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=
∵ω＞0
∴函数f（x）的周期T=，由题意可知，
解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，
∴
∵f（A）=1
∴
而π
∴2A+π
∴A=
由余弦定理知cosA=
∴b²+c²-bc=3，又b+c=3
联立解得
∴S_△ABC=
（或用配方法∵
∴bc=2
∴．
点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示，由函数的部分图象的性质求解函数的解析式，正弦函数的周期公式，由三角函数值求解角，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合，综合的知识比较多，解法灵活，要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题．