题目内容

设函数f（x）=x²+x+ $数学公式$ 的定义域是[n，n+1]（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？

解：∵f（x）=（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ 的图象是以（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）为顶点，
开口向上的抛物线，而自然数n＞- $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的值域是[f（n），f（n+1）]，
即[n²+n+ $\text{[math]}$ ，n²+3n+ $\text{[math]}$ ]．
其中最小的整数是n²+n+1，
最大的整数是n²+3n+2，共有（n²+3n+2）-（n²+n+1）+1=2n+2个整数．
分析：考虑到函数为二次函数，对称轴为x=- $\text{[math]}$ ，而n属于自然数永远大于- $\text{[math]}$ ，则函数为单调递增函数，f（n）最小，f（n+1）最大．最大与最小之间有（n²+3n+2）-（n²+n+1）+1=2n+2个整数．
点评：考查学生理解函数定义域及求法的能力，会求函数值域的能力．

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）．
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