Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，O为AB中点，且PO⊥AC.

   （1）求：平面PAB⊥平面ABCD；

   （2）求PC与平面ABCD所成角的大小；

   （3）求二面角P―AC―B的大小.

Answer 1

解法一：

（1）证明：∵△PAB为等边三角形，O为AB中点，

∴PO⊥AB.

又PO⊥AC，且ABAC=A，

∴PO⊥平面ABCD，

又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD.

（2）解：∵PO⊥平面ABCD，

连结OC，则OC是PC在平面ABCD上的射影，

∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角.

设底面正方形边长为2，

则PO=，CO=

∴

∴PC与平面ABCD所成的角大小为

（3）解：过O做OE⊥AC，垂足为E，连结PE.

∵PO⊥平面ABCD，

则三垂线定理，可知PE⊥AC，

∴∠PEO为二面角P―AC―B的平面角                                                         

设底面正方形边长为2，可求得OE=

又PO=

∴

∴二面角P―AC―B的大小为

解法二：

（1）证明：同解法一

（2）解：建立如图的空间直角坐标系O-xyz，设底面正方形边长为2，

则P（0，0，），C（1，2，0）

又是平面ABCD的一个法向量，且

设PC与更平面ABCD所成的角为

则

∴PC与平面ABCD所成角大小为

（3）解：设为平面PAC的一个法向量，则

由

可得，

令z=1，得

得

又是平面ABC的一个法向量，

设二面角P―AC―B的大小为，

则