Question

（1）已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a），若f′（1）=1．求a的值并求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=g（x）；
（2）已知函数f（x）=

ax2

2x+b

的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y=2．求a，b的值及f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求函数导数，由f′（1）=1，得a的值，然后利用导数的几何意义求切线方程．
（2）利用切线方程，求a，b的值．

解答：解：（1）因为f（x）=x²（x-a），所以f'（x）=3x²-ax，若f'（1）=1，则3-a=1，解得a=2．
所以f（1）=1-a=1-2=-1，所以对应的切线方程为y-（-1）=x-1，所以y=x-2，即y=g（x）=x-2．
（2）因为函数f（x）=

ax2

2x+b

的导数为f′(x)=

2ax2+2abx

(2x+b)2

=

2ax(x+b)

(2x+b)2

，
因为函数在点（2，f（2））处的切线方程为y=2，所以f（2）=2且f'（2）=0，
即：

f(2)= 4a 4+b =2 f′(2)= 4a(2+b) (4+b)2 =0

，解得a=1，b=-2．
所以f′(x)=

2x(x-2)

(2x-2)2

=

x(x-2)

2(x-1)2

，f（x）=

x2

2x-2

，函数的定义域为{x|x≠1}．
由f'（x）＞0得，x＞2或x＜0，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0得，0＜x＜2且x≠1，此时函数单调递减．
故函数的递增区间为（2，+∞）和（-∞，0）．
函数的递减区间为（0，1）和（1，2）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用导数求出切线斜率是解决本题的关键，考查学生的运算能力．