题目内容
【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，
平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，
，
．
（1）证明：
平面PAC；
（2）若
，
，设
，且
，求四棱锥P-ABCD的体积．
【答案】（1）见解析（2）96
【解析】
（1）由
平面ABCD，可知
，又
且
，即可说明
平面PAC；
（2）连接OP，由平面PAC可知
，又
，得
，又由四边形ABCD为等腰梯形，，可知
，
均为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得梯形ABCD的高，即可求得梯形ABCD的面积S，再由勾股定理求得四棱锥P-ABCD的高PA，代入棱锥体积公式，即可求得答案.
（1）证明：因为平面ABCD，
平面ABCD，所以．
又，，
平面PAC，
平面PAC，
所以平面PAC．
（2）如图，连接OP，
由（1）知，平面PAC，
又
平面PAC，知．
在
中，因为，得，
又因为四边形ABCD为等腰梯形，，
所以，均为等腰直角三角形．
从而梯形ABCD的高为
，
于是梯形ABCD的面积
．
在等腰直角三角形AOD中，
，
所以
，
．
故四棱锥P-ABCD的体积为
．
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