Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e为自然对数的底）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（II）根据）若对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，并且有

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，从而求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=(2-a)-

2

x

，(x＞0)，
∴（1）当2-a≤0即a≥2时f'（x）＜0恒成立．
（2）当2-a＞0即a＜2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜

2

2-a

；
由f'（x）＞0，得x＞

2

2-a

．
因此：当a≥2时函数f（x）的单调减区间是（0，+∞）；
当a＜2时，函数f（x）的单调减区间是(0，

2

2-a

)，单调增区间是(

2

2-a

，+∞)
（II）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
由（Ⅰ）知当a≥2时函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，不合题意，
∴a＜2，并且0＜

2

2-a

＜e，即a＜2-

2

e

①
∵x→0时f（x）→+∞，故对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x₀）成立，当且仅当a满足

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，
注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2-a）（e-1）-2≥1，即a≤2-

3

e-1

②
由①②知，所求的a得取值范围是(-∞，2-

3

e-1

]

点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性，和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合以及题意的理解与转化的思想．特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析解决问题的能力．