Question

函数f(x)=

ax+b

x2+1

的值域为[-1，4]，则a+b=

7或-1

．

Answer 1

分析：由函数f（x）的解析式，得到关于函数值y的一元二次方程，该方程有实数根，△≥0，求得y的取值范围，即f（x）的值域；得到a、b的值．

解答：解：∵函数f(x)=

ax+b

x2+1

的值域为[-1，4]，
∴设y=

ax+b

x2+1

，
则yx²-ax+（y-b）=0（*），
当y≠0时，一元二次方程（*）有实数根，
∴△=（-a）²-4y（y-b）≥0，
即4y²-4by-a²≤0；
解得

b- a2+b2

2

≤y≤

b+ a2+b2

2

，
令

b- a2+b2 2 =-1 b+ a2+b2 2 =4

，
解得

a=±4 b=3

，
∴a+b=7或-1；
故答案为：7或-1．

点评：本题考查了应用函数的值域求函数的解析式的问题，是易错题．