Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2+…+

1

3

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，得到a_n+1-a_n=1，再由等差数列的定义求解；
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，右边先用等比数列前n项和整理，这样符合一个等差数列与一个等比数列相应积的形式，用错位相减法求解
（Ⅱ根据c_n=-a_nb_n，再由（I）求得：cn=

-1，(n=1) 6n 3n ，(n≥2)

，当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，符合一个等差数列与等比数列相应积的形式，用错位相减法求解．

解答：解：（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_n=n．
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-2++

1

3

+1，
则（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=(

1

3

)n-2++

1

3

+1，（n≥2）
两式相减得：b 1+b2++bn=(

1

3

)n-1，n≥2．
即数列{b_n}的前n项和Sn=(

1

3

)n-1，n≥2．
当n=1时，b₁=S₁=1，所以Sn=(

1

3

)n-1．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

1

3

)n-1-(

1

3

)n-2=-

2

3

•(

1

3

)n-2．
所以bn=

1，(n=1) - 6 3n ，(n≥2)

．（7分）

（Ⅱ）因为c_n=-a_nb_n，所以cn=

-1，(n=1) 6n 3n ，(n≥2)

．
当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，
设Tn=-1+

6×2

32

+

6×3

33

+

6×4

34

++

6×n

3n

=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)．
令T=

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

，则

1

3

T=

2

33

+

3

34

+

4

35

++

n-1

3n

+

n

3n+1

，
两式相减得：

2

3

T=

2

32

+

1

33

+

1

34

++

1

3n

-

n

3n+1

=

2

9

+

1 27 (1- 1 3n-2 )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

5

18

-

1

2

•

1

3n

-

n

3n+1

，
所以T=

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

．
因此T_n=-1+6(

2

32

+

3

33

+

4

34

++

n

3n

)=-1+6(

5

12

-

3

4

•

1

3n

-

1

2

•

n

3n

)=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

，n≥2．（13分）
又n=1时，T₁=-1也满足上式，故T_n=

3

2

-

1

2

•

9

3n

-

3n

3n

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项及前n项和以及用等差数列和等比数列构造特殊数列问题，作为数列是研究规律一类知识，所以建模意识要强，要转化为特定的数列去解决问题．