Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+5n，在数列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，a_n+log_cb_n恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：利用数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+5n，数列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，求出通项公式，化简a_n+log_cb_n的表达式，通过它为常数，推出m，c的值．

解答：解：c=2，m=11满足条件，证明如下
当n=1时，a₁=S₁=8-----------------（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n+2----（3分）
又n=1时满足上式，故a_n=6n+2，
又∵b₁=8，64b_n+1-b_n=0
∴{b_n}是以8为首项

1

64

为公比的等比数列
∴bn=(

1

8

)2n-3---------------------------（6分）
∴a_n+

log

bn c

=6n+2+

log	( 1 8 )2n-3 c

=6n+2+（2n-3）

log

1 8 c

=（6+2

log

1 8 c

）n+（2-3

log

1 8 c

）
∵a_n+log_cb_n=m对任意n∈N^*恒成立，
∴

6+2 log 1 8 c =0 2-3 log 1 8 c =m

      
 解得

c=2 m=11

----------（12分）
故c=2，m=11满足条件．-------（13分）．

点评：本题考查由数列的递推关系式求解通项公式的求法，恒成立体积的应用，考查计算能力．