Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表达式；
（3）求证：

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

4n

2n+4

．

Answer 1

分析：（1）根据条件，令x=1，可得1≤f(1)≤

1

2

(12+1)=1，由此求得f（1）的值．
（2）设f（x）=ax²+bx+c，则

f(-1)=a-b+c=0 f(1)=a+b+c=1

，可得

a+c= 1 2 b= 1 2

．
又ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0恒成立，可得

a＞0 △= 1 4 -2a+4a2≤0

，解得a和c的值，从而求得函数f（x）的解析式．
（3）由（2）得f(n)=

1

4

(n+1)2，再根据

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

=

4

22

+

4

32

+

4

42

+…+

4

(n+1)2

 ＞4(

1

2•3

+

1

3•4

+

1

4•5

+…

1

(n+1)(n+2)

)，化简即可证得结论．

解答：解：（1）根据x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)对一切实数x恒成立，
令x=1，可得1≤f(1)≤

1

2

(12+1)=1，∴f（1）=1．
（2）设f（x）=ax²+bx+c，则

f(-1)=a-b+c=0 f(1)=a+b+c=1

，解得

a+c= 1 2 b= 1 2

．
又f(x)=ax2+

1

2

x+c=ax2+

1

2

x+

1

2

-a≥x恒成立，即ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0恒成立，
∴

a＞0 △= 1 4 -2a+4a2≤0

，解得a=

1

4

，c=

1

4

，故 f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2．
（3）由（2）得f(n)=

1

4

(n+1)2，

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

=

4

22

+

4

32

+

4

42

+…+

4

(n+1)2

＞4(

1

2•3

+

1

3•4

+

1

4•5

+…

1

(n+1)(n+2)

) 
=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

4n

2n+4

，
故

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

4n

2n+4

成立．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，用待定系数法求函数的解析式，用放缩法证明不等式，属于难题．