Question

给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线的距离，

∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线为准线的抛物线，开口向左，

， ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：

（也可以用直接法：，然后化简即得：）；

（2）方法一：经分析：OA,OB的斜率都存在，都不为0，设OA：，则OB：，

联立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,

∴, 即: ,

令,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点，

其坐标为。方法二：当AB垂直x轴时，设A，则B，

∵∴，∴

此时AB与x轴的交点为；

当AB不垂直x轴时，设AB：，联立和有：

，∴，

∵∴，即：，

∴AB：，此时直线AB与x轴交点为定点，其坐标为,

综上：直线AB与x轴交点为定点，其坐标为。

考点：抛物线的方程；

点评：对于题目涉及到关于直线和其他曲线的交点时，一般都可以用到跟与系数的关系式：在一元二次方程中，。