Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+

3

cosA=2．
（1）求A的大小；
（2）现给出三个条件：①a=2； ②c=

3

b；③B=45°．
试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）

Answer 1

（1）依题意得：sinA+

3

cosA=2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2，
即sin(A+

π

3

)=1，（3分）
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

；（5分）
（2）方案一：选条件①和②，（6分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

a

sinA

sinB=2

2

，（8分）
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 + 6

4

，（11分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

2

×

2 + 6

4

=

3

+1．（13分）
方案二：选条件①和③，（6分）
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，则b=2，c=2

3

，（10分）
所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．（13分）
说明：若选条件②和③，由c=

3

b得，sinC=

3

sinB=

6

2

＞1，不成立，这样的三角形不存在．