题目内容

已知函数f（x）=ax²+bx+c （ $数学公式$ ≤a≤1）的图象过点A（0，1）且直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点．
（1）求b与c的值；
（2）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a）、N（a）、g（x）=M（a）-N（a），若g（a）=2，求实数a的值．

解：（1）f（0）=1c=1（2分）
$\text{[math]}$ ax²+（b+2）x=0有等根（5分）
b=-2（7分）
（2）f（x）=ax²-2x+1=a（x- $\text{[math]}$ ）²+1- $\text{[math]}$ （8分）
$\text{[math]}$ ≤a≤1∴1≤ $\text{[math]}$ ≤3恒有N（a）=1- $\text{[math]}$ （10分）
当1≤ $\text{[math]}$ ≤2即 $\text{[math]}$ ≤a≤1时M（a）=9a-5
M（a）-N（a）=2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （舍去）（12分）
当2＜ $\text{[math]}$ ≤3即 $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ 时M（a）=a-1
M（a）-N（a）=2a=2± $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 都舍去
综上 $\text{[math]}$ （15分）
分析：（1）由f（0）=1，求得c=1，再由“直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点”联立 $\text{[math]}$ 转化为ax²+（b+2）x=0有等根，求b．
（2）由（1）知f（x）=ax²-2x+1=a（x- $\text{[math]}$ ）²+1- $\text{[math]}$ ，用二次函数法求得其最值，构造g（x），再由g（a）=2，求实数a的值，要注意讨论．
点评：本题主要考查二次函数的图象与性质，以及二次方程根的问题，还考查了构造思想，分类讨论思想．