Question

6．给出下列五个命题：
①函数$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的一条对称轴是x=$\frac{5π}{12}$；
②函数y=tanx的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称；
③存在实数x，使sinx+cosx=2；
④若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z
⑤函数y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是奇函数；
以上五个命题中正确的有①②⑤（填写正确命题前面的序号）

Answer 1

分析 把x=$\frac{5π}{12}$代入函数得  y=1，为最大值，故①正确．
由正切函数的图象特征可得（$\frac{π}{2}$，0）是函数y=tanx的图象的对称中心，故②正确．
利用辅助角公式进行化简即可得③是不正确的．
若 $sin（2{x}_{1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x}_{2}-\frac{π}{4}）$，则有 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
即 x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，故④不正确．
先化简函数y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{2}{3}$x进行判断即可．

解答 解：①把x=$\frac{5π}{12}$代入函数得  y=1，为最大值，故①正确．
②结合函数y=tanx的图象可得点（$\frac{π}{2}$，0）是函数y=tanx的图象的一个对称中心，故②正确．
③sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，∵2＞$\sqrt{2}$，∴存在实数x，使sinx+cosx=2错误，故③错误，
④若 $sin（2{x}_{1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x}_{2}-\frac{π}{4}）$，则有  2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+2x₂-$\frac{π}{4}$，或 2x₁-$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2x₂-$\frac{π}{4}$），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，故④不正确．
⑤函数y=cos（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{2}{3}$x是奇函数，故⑤正确；
故答案为：①②⑤

点评 本题考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．