Question

已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF为钝角，则线段BE长度的取值范围是

（1，2）

．

Answer 1

分析：以A为原点，AD、AB所在直线为x、y轴，建立直角坐标系．以AF为直径作圆，由圆的性质可得当点E位于圆内时，∠AEF为钝角，因此求出圆的方程并算出圆与直线y=2的交点（1，2）和（2，2），得到当E的横坐标m∈（1，2）内时点E位于圆内，利用两点的距离公式即可算出线段BE长度的取值范围．

解答：解：以A为原点，AD、AB所在直线为x、y轴，建立直角坐标系
∵矩形ABCD中，AB=2且AD=3，F是CD的中点
∴F（3，1），设E（m，2）
以AF为直径作圆，由圆的性质可得当点E位于圆内时，∠AEF为钝角，
∵圆心为（

3

2

，

1

2

），半径r=

10

2

∴圆的方程为（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=

5

2

令y=2，可得x=1或2，即直线y=2与圆的交点为（1，2）和（2，2）
因此，当E的横坐标m∈（1，2）内时，点E位于圆内时，∠AEF为钝角
此时1＜BE＜2，即BE∈（1，2）
故答案为：（1，2）

点评：本题给出矩形满足的条件，求动点E满足∠AEF为钝角时BE长度范围．着重考查了解三角形、圆的方程和圆的几何性质等知识，属于中档题．