Question

【题目】如图，在几何体中，四边形为直角梯形， ，四边形为矩形，且， ， 为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接， ，易证得四边形为平行四边形，所以，进而得证；

（2）先证得, , 两两垂直，以点为原点，以为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量求解即可.

试题解析：

（1）取的中点，连接， ，

∵为中点，∴，且.

∵四边形为直角梯形， ，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面， 平面，

∴平面.

（2）因为四边形为直角梯形， ， ，

所以，∴.

又，因为，所以，

因为， ， ，所以平面，

因为，∴平面，∴，

所以，因此.

以点为原点，以为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ，

所以， ，设平面的一个法向量为，

则有令，则，

设平面的一个法向量为， ， ，

则有令，则，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角为.