Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2）若，设b_n=a_n+n，数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据条件都转化为首项和公差的形式，再根据等差数列的前n项和S_n所满足的条件即可得到结论．
（2）先根据前n项和S_n以及通项之间的关系求出{a_n}的通项，进而得到数列{nb_n}的通项，再结合错位相减法即可求出T_n；
（3）先根据条件求出{a_n}的通项；进而根据裂项求和法求出P的表达式，即可得到结论．
解答：解：（1）因为{a_n}为等差数列，设公差为d，由，
得，
即对任意正整数n都成立．
所以所以3A-B+C=0．       …（4分）
（2）因为，所以，
当n≥2时，，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以，而，
所以数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列，所以． …（7分）
于是．所以①，
，②
由①-②，得．
所以．…（10分）
（3）因为{a_n}是首项为1的等差数列，由（1）知，公差d=1，所以a_n=n．
而=，…（14分）
所以，
所以，不超过P的最大整数为2012．…（16分）
点评：本题主要考察由数列的递推式求数列的和，其中涉及到数列求和的错位相减法以及裂项求和法，是对数列知识的综合考察，主要考察计算能力．