Question

(本小题满分13分)

如图，在矩形木板中，，，在二面角的墙角处围出一个侧棱与底面垂直的直三棱柱的储物仓，其中要求垂直于地面的木板两边与墙面贴紧。

（Ⅰ）问应怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， 直线AB是否存在点P使得直线CP与平面所成角，若有则找出P点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）设，，则三棱柱体积。

又，

，当且仅当时，不等式取等号。

所以，当时，三棱柱体积

（2）当时，为等边三角形，取的中点为，的中点为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则

，，，设，则，；

，，设平面的法向量，则

，令，得；

，解得

点在的延长线上，且，使得直线CP与平面所成角。