Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，f（x）=

2x-1

x+1

，a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

，则S₂₀₁₁=

1+log2

1341

671

．

Answer 1

分析：由f（x）=

2x-1

x+1

，知a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log2(

2n+1

n+2

×

n+1

2n-1

)，故S₂₀₁₁=log₂[（

3

3

×

2

1

）×（

5

4

×

3

3

）×（

7

5

×

4

5

）×（

9

6

×

5

7

）×…×（

4021

2012

×

2011

4019

）×（

4023

2013

×

2012

4021

）]，简化为log₂（2×

4023

2013

），由此能求出结果．

解答：解：∵f（x）=

2x-1

x+1

，
∴a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log2

2n+1 n+2

2n-1 n+1

=log2(

2n+1

n+2

×

n+1

2n-1

)，
∴S₂₀₁₁=log₂[（

2×1+1

1+2

×

1+1

2×1-1

）×（

2×2+1

2+2

×

2+1

2×2-1

）×（

2×3+1

3+2

×

3+1

2×3-1

）×（

2×4+1

4+2

×

4+1

2×4-1

）×…×（

2×2010+1

2010+2

×

2010+1

2×2010-1

）×（

2×2011+1

2011+2

×

2011+1

2×2011-1

）]
=log₂[（

3

3

×

2

1

）×（

5

4

×

3

3

）×（

7

5

×

4

5

）×（

9

6

×

5

7

）×…×（

4021

2012

×

2011

4019

）×（

4023

2013

×

2012

4021

）]
=log₂（2×

4023

2013

）
=log22+log2

1341

671

=1+log2

1341

671

．
故答案为：1+log2

1341

671

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．