Question

已知函数f（x）=

1+x

a(1-x)

lnx．
（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1-x

1+x

lnx，定义域为（0，1）∪（1，+∞）．f′(x)=

2lnx

(1-x)2

+

1+x

(1-x)x

=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．由此根据实数a的符号进行分类讨论，能够求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）a=1，f（x）=

1-x

1+x

lnx，定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
f′(x)=

2lnx

(1-x)2

+

1+x

(1-x)x

=

2lnx+ 1-x2 x

(1-x)2

．…（2分）
设g（x）=2lnx+

1-x2

x

，则g′(x)=

-(x-1)2

x2

．
因为x＞0，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，又g（1）=0，
于是x∈（0，1），g（x）＞0，f′（x）＞0；
x∈（1，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由已知a≠0，
因为x∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．
（1）当a＜0时，f（x）＞0．不合题意．…（8分）
（2）当a＞0时，x∈（0，1），由f（x）＜-2，得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．
设h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，则x∈（0，1），h（x）＜0．
h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
设m（x）=x²+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数，
又h（1）=ln1+

2a(1-1)

1+1

=0，所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得m（x₀）=0，
对任意x∈（x₀，1），m（x）＜0，h ′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上是减函数，
又因为h（1）=0，
所以x∈（x₀，1），h（x）＞0．不合题意．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）

点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．