Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则|x₁-x₂|的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• B．[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• C．(0，

  1

  3

  ]∪(

  4

  9

  +∞)
• D．(0，

  3

  3

  ]∪(

  2

  3

  +∞)

Answer 1

分析：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，由x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，知|x1-x2|2=

4b2-12ac

9a2

．由a+b+c=0，知c=-a-b．由此能求出|x₁-x₂|的取值范围．

解答：解：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=

c

3a

，
∴|x₁-x₂|²=x12+x22-2x₁x₂
=(x1+x2)2-4x₁x₂
=

4b2

9a2

-

4c

3a

=

4b2-12ac

9a2

，
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴|x1-x2|2=

4b2+12a(a+b)

9a2

=

12a2+12ab+4b2

9a2

=

4

9

(

b

a

)2+

4

3

(

b

a

)+

4

3

．
∵f（0）•f（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），f（1）=3a+2b+c=2a+b，
∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：(

b

a

)2+3(

b

a

)+2＜0，
所以-2＜

b

a

＜-1，故|x1-x2|∈[

3

3

，

2

3

)．
故选B．

点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．