题目内容

（2012•泉州模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象，P，Q是这部分图象与x轴的交点（按图所示），函数图象上的点R满足：|RP|=
11
，|RQ|=3
3
，cos∠RPQ=
3
11
11
．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）若P的横坐标为1，试求函数y=f（x）的解析式，并求f(
4
3
)的值．
分析：（Ⅰ）在△PRQ中，通过余弦定理求出PQ，推出函数的周期．
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过函数f（x）过点P（1，0），求出φ，求出P的纵坐标，求出函数的振幅，推出函数的解析式，然后求解f(
4
3
)的值．
解答：本题满分（13分）．
解：（Ⅰ）在△PRQ中，由余弦定理可得：(3
3
)2=PQ2+(
11
)2-2×|PQ|×
11
×
3
11
11
，
∴PQ2-6|PQ|-16=0，∴|PQ|=8或|PQ|=-2（舍去）．…（3分）
∴函数y=f（x）的周期为8．…．（5分）
（Ⅱ）∵T=8，∴ω=
2π
T
=
π
4
，…．（7分）
又∵函数f（x）过点P（1，0），∴φ=-
π
4
，…（9分）
∴f(x)=Asin(
π
4
x-
π
4
)．
过点R作x轴的垂线，垂足为H，在RT△PHR中，|PR|=
11
，cos∠RPQ=
3
11
11
，
∴|PH|=3，|RH|=
2
，R(4，
2
)，∴Asin(π-
π
4
)=
2
，A=2．…..（11分）
∴f(x)=2sin(
π
4
x-
π
4
)，
则f(
4
3
)=2sin(
π
3
-
π
4
)=2sin
π
3
cos
π
4
-2cos
π
3
sin
π
4
=
6
-
2
2
．…．（13分）
点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．
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12
的下方，求a的取值范围；
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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